3 dic. 2009

9. LOGICA PROPOSICIONAL

En general, en lógica se desarrollan diferentes SISTEMAS LÓGICOS para caracterizar diferentes clases de argumentos válidos. Cada sistema lógico caracteriza su propia clase de esquemas argumentales válidos: su validez se basa en el significado de ciertas expresiones que el sistema usa, las CONSTANTES LÓGICAS cuyo significado es fijo en el sistema .

El sistema de LÓGICA PROPOSICIONAL trata los formas argumentales cuya validez depende del significado de las expresiones y, o, si… entonces,etc. Todo lo demás que afecta la validez de los argumentos es descartada. Por lo tanto, la Lógica Proposicional no tratará argumentos tales como (2). Los argumentos cuya validez depende de expresiones "cuantificacionales" será tratada por la LOGICA CUANTIFICACIONAL o PREDICATIVA
La Lógica Proposicional es el sistema lógico más simple y básico. Como dijimos, tratará la clase de argumentos cuya validez depende exclusivamente de cómo están "conectados" los enunciados: de aquellos argumentos que son deductivos en virtud de su estructura proposicional. Es decir, dentro de los argumentos deductivos, la Lógica Proposicional tratará de un subconjunto particular de estos argumentos, ie, de los argumentos que resultan deductivos debido a cómo están conectados los enunciados entre sí. Este es el objeto de la LÓGICA PROPOSICIONAL.Si repasamos los ejemplos que hemos visto de esquema argumentales deductivos en virtud de su estructura proposicional, notamos que ya nos hemos apartado del lenguaje natural. En nuestros ejemplos de esquemas argumentales, usamos letras en lugar de enunciados y las palabras que aparecían conectando los enunciados podían representar las CONSTANTES LÓGICAS.

EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

Este alejamiento del lenguaje natural, nos lleva a la creación de un LENGUAJE FORMAL para el estudio de los esquemas argumentales. Analizar los esquemas argumentales mediante un LENGUAJE FORMAL o ARTIFICIAL tiene varias ventajas. En primer lugar, nos permite crear un lenguaje hecho a la medida de nuestro interés. Si nuestro interés es el estudio de los argumentos cuya validez depende de cómo están conectados los enunciados, independientemente de su contenido, debemos ofrecer un análisis general de todos los enunciados o al menos de todos los enunciados de la misma forma. Y la verdad de tales enunciados solo puede probarse si descartamos la caracterización explicita de los enunciados del lenguaje natural. Para eso, elegiremos un lenguaje que conste de ciertas expresiones que funcionen como "conectivos" que serán las constantes lógicas de nuestro sistema y que sean la contrapartida lógica de las conjunciones gramaticales que aparecen en nuestros ejemplos como palabras. También tendremos letras para representar los enunciados.

Tal como vimos en los ejemplos podremos representar enunciados como "María vendrá a la fiesta" con una letra y "Juan vendrá a la fiesta" con otra letra. Las letras representarán enunciados simples del lenguaje mediante los cuales se podrán construir enunciados complejos usando los conectivos. Llamaremos a estas expresiones que a diferencia de las constantes no tendrán significado fijo, VARIABLES lógicas.

(1) ¿Qué tipo de expresión puede ser tratada como constante lógica? Para que una expresión sea tratada como una constante lógica, la expresión debe ser responsable de la validez del esquema argumental que la contiene. Los términos puramente descriptivos como "fiesta", "mamífero", etc no cumplen este criterio. En cambio términos como "no", "si…entonces" no tienen contenido descriptivo, su única función en el lenguaje es dar validez a las estructuras argumentales que la contienen
Otra razón para usar un lenguaje formal es que al crearlo especialmente para nuestros fines, obviaremos una característica propia del lenguaje natural: su ambigüedad. Adviértase la dificultad para determinar la validez del siguiente argumento en el lenguaje natural: Los hombres y las mujeres de edad tienen prioridad

Pedro es un hombrePedro tiene prioridad

La validez del ejemplo depende de cómo leamos la primera premisa. Sólo si "de edad" se aplica tanto a hombres como a mujeres, entonces el argumento es válido. Un lenguaje formal apropiado contendrá también signos auxiliares como los paréntesis que nos permitirán eliminar la ambigüedad o vaguedad.

Llamaremos L al LENGUAJE FORMAL DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL. Un lenguaje formal se caracteriza por su VOCABULARIO que se subdivide en 3 categorías (constantes lógicas, variables y signos auxiliares) y por su SINTAXIS que da una definición de las expresiones compuestas del lenguaje mediante un número de reglas explícitas que dicen que expresiones pueden combinarse entre si para crear nuevas expresiones.A continuación definiremos el VOCABULARIO DE L

1) VARIABLES PROPOSICIONALES. El vocabulario contará con un conjunto infinito de de variables proposicionales VP = {p, q, r, …. p1, p2, p3 …. q1,q2 ...}.
2) CONSTANTES LÓGICAS formado por el conjunto de CONECTIVOS o CONECTORES VERITATIVO-FUNCIONALES.

Según lo que hemos dicho, los "conectivos" son las contrapartidas formales de las conjunciones gramaticales mediante las cuales formamos enunciados compuestos a partir de enunciados simples. Ahora bien, la restricción a enunciados, esto es, a oraciones susceptibles de ser verdaderas o falsas sugiere una clase de "conectivos". Según el principio de Composicionalidad el significado de un enunciado compuesto depende del significado de los enunciados que la componen. Pero puesto a que restringimos el significado de las oraciones a sus valores de verdad, la composicionalidad requiere que consideremos solamente los conectivos veritativo-funcionales, de modo que para determinar el valor de verdad de un enunciado compuesto sólo debemos prestar atención a los enunciados simples que la componen.


¿Qué es un conectivo veritativo-funcional?

Veamos algunos ejemplos de enunciados

1. Juan está llorando.


2. Juan se golpeó la cabeza.


3. Juan se golpeó la cabeza y está llorando

4. Juan está llorando porque se golpeó la cabeza
(2) En realidad, nótese que las variables representan proposiciones y no enunciados. Así, si representamos "María vendrá a la fiesta de cumpleaños" como p, también debemos asignarle al enunciado "María asistirá al festejo de cumpleaños" la misma letra. Para la distinción entre enunciado y proposición, ver repartido 5

Supongamos que los dos primeros enunciados son verdaderos, entonces (3) es verdadero. En cambio, (4) no sería necesariamente verdadero aunque los dos primeros enunciados lo fueran: Juan podría estar llorando por otras razones y no por el golpe.

Esta diferencia en el comportamiento de las conjunciones "y" y "porque" puede describirse así: 3 es verdadera si 1 y 2 son verdaderas y falsa si alguna de ellas es falsa. Pero ese no es el caso de 4, cuya verdad depende de algo más que la verdad de los enunciados que la componen. Los conectivos que dan lugar a enunciados cuyos valores de verdad dependen de los valores de verdad de los enunciados que la componen se llaman conectivos veritativo-funcionales.

Nuestro lenguaje L contará con los siguientes conectivos veritativo-funcionales:

Adviértase que los cinco primeros conectivos son binarios, es decir, conectan dos enunciados, mientras que la negación solo afecta a un enunciado, por lo que lo llamamos conectivo unario.

En nuestro lenguaje no solo podemos representar enunciados atómicos o simples mediante las variables proposicionales (convirtiendose entonces en fórmulas atómicas), sino que también podemos representar enunciados moleculares usando variables proposicionales y conectivos y obteniendo fórmulas moleculares.L cuenta en su vocabulario con signos auxiliares: los paréntesis. Estos nos sirven para eliminar ambigüedades. Veamos un ejemplo:

) Si hace frío, entonces Juan no sale y estudia.

Es fácil ver como el lenguaje natural es ambiguo. Podemos interpretar de dos maneras el enunciado molecular:1a) Cuando hace frío Juan no sale y además Juan estudia, haga frío o calor
.1b) Juan solo estudia cuando hace frío y no sale.

Podría representar este enunciado molecular mediante la siguiente fórmula:



Pero de esa manera, estaríamos frente a la misma ambigüedad del lenguaje natural. Es por eso que introducimos como una categoría indispensable en nuestro lenguaje los paréntesis como signos auxiliares.Los paréntesis nos permitirán eliminar las ambigüedades del lenguaje natural. Esto significa que para transformar el enunciado (1) a una fórmula de L, debemos decidir si traducirla como:



Con estos elementos del vocabulario (variables, conectivos y paréntesis) podremos presentar la SINTAXIS de L, es decir podemos explicitar las reglas sintácticas mediante las cuales podemos formar fórmulas moleculares a partir de otras fórmulas (sean éstas atómicas o moleculares)Definición de fórmulaSean A y B metavariables. Una metavariable no pertenece al lenguaje L y a diferencia de las variables p, q, r, etc. no hay ninguna convención que diga que distintas variables deben designar distintas fórmulas.1) Toda VP es una fórmula.2) Si A es fórmula, entonces ¬A es fórmula.3)Si A y B son fórmulas, entonces (A^B), (A»B), (AvB), (AwB) y (A«»B) son fórmulas.4)Nada más es fórmula.