3 dic. 2009

LA SEMANTICA DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL: INTERPRETACIÓN DE L

Hemos construido un lenguaje L suficientemente expresivo como para que nos permita estudiar los esquemas argumentales deductivos en virtud de su estructura proposicional. No sólo es un lenguaje útil para nuestros fines, sino que además tienen una propiedad sumamente atractiva, a saber, es un lenguaje unívoco, es decir, a diferencia del lenguaje natural, no es un lenguaje ambiguo: cada fórmula tiene una sola lectura.
Ahora ya estamos en condiciones de INTERPRETAR nuestro lenguaje, es decir asignar significado a las fórmulas del lenguaje.

Comencemos entonces por asignar significado a las fórmulas más simples. Según nuestra definición, "p" es una variable proposicional, y por lo tanto es una fórmula atómica que representa un enunciado atómico. Ahora bien, para nuestros fines – a saber, estudiar esquemas argumentales deductivos -- ¿nos interesa realmente el contenido o tema del enunciado? Claramente, no. ¿Qué información nos interesa del enunciado? Su valor de verdad. Por lo tanto, diremos que interpretar una variable proposicional es asignarle un valor de verdad.

Como podrá intuirse por todo lo visto anteriormente, para interpretar las fórmulas moleculares, debemos ver como el valor de verdad de las fórmulas moleculares depende de los valores de verdad de las fórmulas que la componen Y DEL CONECTIVO usado.

Para cada conectivo definimos una TABLA DE VERDAD.

CONJUNCIÓN

Para saber que valor tiene (p ^ q) debo saber que valor tiene p y que valor tiene q. Por lo tanto, obtenemos una definición del significado de la conjunción ^ si determinamos que valor de verdad tiene una fórmula molecular que contiene la conjunción como conectivo principal para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las fórmulas que conecta. Para esto construirmos una tabla de doble entrada donde tomamos en cuenta TODAS las posibles combinaciones de valores de verdad de los componentes y vemos cual es el valor de verdad resultante.

Volvamos a un ejemplo anterior:

p = Juan se golpeó la cabeza

q = Juan está llorando

(p ^ q) = Juan se golpeó la cabeza y está llorando

Como dijimos en su momento, resulta evidente que si "Juan se golpeó la cabeza" y "Juan está llorando" son V entonces "Juan se golpeó la cabeza y está llorando" es verdadera. Pero ¿Qué pasa si Juan no se golpeó la cabeza, o si no está llorando, o si no se golpeó ni está llorando? Entonces afirmar "Juan se golpeó la cabeza y está llorando" no es cierto.

Este es solo un ejemplo, pero un poco de analisis nos llevaría a ver que la definición de la conjunción no cambiaría si en lugar de (p ^ q) analizaramos (p ^ r) o ( r^t). Con el fin de dar una definición general de los conectivos vamos a volver a usar las metavariables A y B que representan, como ya vimos, a cualquier fórmula.Decimos que la conjunción es verdadera si sus dos componentes son verdaderos y falsa en caso contrario.



DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Analicemos el siguiente ejemplo y veamos como resulta (AvB)
"Se puede viajar con pasaporte o cédula"
Luego, decimos que la disyunción resulta verdadera si al menos uno de sus componentes es verdadero y falso solo si ambos componentes son falsos.DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

Ejemplo: "O bien Juan se dedica a estudiar o bien se dedica a la música"


Decimos que la disyunción exclusiva resulta verdadera cuando sus componentes tienen distinto valor de verdad y es falso si sus dos componentes tienen el mismo valor de verdad.
CONDICIONAL

Llamamos ANTECEDENTE al primer componente del condicional y CONSECUENTE al segundo componente. Nótese que en el lenguaje ordinario si no siempre es usado veritativo-funcionalmente. Cuando decimos "Si Juan se golpea la cabeza, llora", quiere generalmente decir que en un momento dado es cierto que Juan llora si se ha golpeado la cabeza: "Si Juan se acaba de golpear la cabeza, entonces está llorando en este momento".Con este ejemplo, resulta evidente que el condicional será VERDADERO si Juan se ha golpeado la cabeza y Juan está llorando, y que el condicional será FALSO si Juan se ha golpeado la cabeza y no está llorando. ¿Pero que sucede si Juan no se ha golpeado la cabeza? Es decir, ¿si el antecedente es falso? Evidentemente no podríamos decir que el enunciado compuesto es siempre falso si el antecedente es falso, aunque tampoco resulta muy atractivo que el enunciado compuesto resulte siempre verdadero si el antecedente el falso. Elijamos esta alternativa, aunque resulte poco atractiva y veamos que resulta.



Adviértase que el caso en que Juan se ha golpeado la cabeza y no está llorando resulta falso. De esto resulta claro que el condicional tiene al menos un papel importante en el análisis de los usos del condicional en el lenguaje ordinario. Otras formas de uso de condicional han sido investigados por otros sistemas lógicos como por ejemplo la Lógica Intesional.

Otro ejemplo: "Si gano el 5 de oro, pagaré mis deudas"

BICONDICIONAL

Ejemplo: "Un triángulo es rectángulo si y solo si tiene un ángulo recto"

NEGACIÓN
Ejemplo: "No es cierto que esté lloviendo"


11. TABLAS DE VERDAD

La interpretación de una fórmula queda completamente determinado por los valores de verdad de las variables proposicionales (VP) que dicha interpretación asigna a las letras enunciativas que aparecen en esa fórmula. Una vez que conocemos el valor de verdad que la interpretación asigna a cada VP y tenemos presentes las definiciones de los conectivos resulta fácil determinar el valor de verdad que le corresponde a la fórmula completa.
El procedimiento de determinación requiere ir por pasos, estableciéndolos valores correspondientes a los diferentes niveles de subfórmulas (indicados por los paréntesis) hasta alcanzar el nivel de la fórmula completa. Así obtenemos una tabla de verdad para la fórmula en cuestión.
Una tabla de verdad establece las diferentes posibles combinaciones de valores de verdad de las VP de una fórmula y determina los valores correspondientes a esa fórmula para cada una de esas combinaciones, es decir, cada renglón será una interpretación posible para esa fórmula a partir de las diferentes combinaciones de valores de verdad para las VP que la compongan.Cada tabla requiere un número de interpretaciones que se corresponde con el número de combinaciones de valores de verdad para las VP que aparezcan en la fórmula. El criterio para determinar cuantas interpretaciones posibles tiene una fórmula depende del número de VP distintas que aparezcan en ella. Dado que según el Principio de Bivalencia que rige la Lógica Clásica una fórmula sólo puede tener dos valores de verdad (a saber, V o F) para una fórmula que contenga n VP, ese número es 2n. Así la tabla de verdad de una fórmula que tenga 2 variables tendrá 22 = 4 renglones, una que tenga 3, tendrá 23 = 8, una que tenga 4 24 = 16 y así sucesivamente.

Luego de calcular el número de renglones necesarios (en este caso hay sólo dos VP, luego serán 4 renglones) procedo de la siguiente manera:
Paso 1: La columna 1 corresponde a la asignación de todas las combinaciones de valores de verdad posibles de las VP que aparecen en la fórmula
Paso 2: Calculo el valor de Verdad correspondiente a las negaciones de VP
Paso 3: Calculo los conectivos binarios que afecten directamente a VP o a negaciones de VP
Paso 4: Calculo conectivos binarios que afecten a los resultados del paso anterior hasta llegar al conectivo principal de la fórmula.
El resultado de la tabla aparecerá reflejado debajo del conectivo principal.
El resultado de la tabla de verdad de una fórmula es la última columna (correspondiente al conectivo principal de la fórmula molecular). Como se habrá observado pueden ocurrir tres casos:
a) el resultado final de la tabla sólo arroja signos de V.
b) el resultado final de la tabla solo arroja signos de F.
c) el resultado final presenta signos de V y signos de F indistintamente.
Se dice que una fórmula es una TAUTOLOGÍA sí y solo si su valor de verdad es siempre V para toda interpretación posible. Es decir, si el resultado de la tabla arroja solo V en su columna final. Esto significa que la fórmula es verdadera independientemente de como sea el mundo (es decir, independientemente de los valores de verdad que tengan de hecho las VP componentes) y SOLAMENTE es verdadera por la contribución semántica de sus conectivos. Cada interpretación (renglón de la tabla) representa un modo posible de ser "el mundo" – para la fórmula considerada – donde el total de los mundos posibles está dado por el modo en que se "conectan" las VP.
Si la tabla de verdad arroja solamente F entonces decimos que la fórmula es una CONTRADICCIÓN. Obviamente una fórmula resultará ser CONTINGENTE sí y solo sí su valor de verdad es F para al menos una interpretación y V para al menos otra